Read e-book online Affine Ebenen: eine konstruktive Algebraisierung PDF

By Artur Bergmann, Erich Baumgartner

ISBN-10: 3486721372

ISBN-13: 9783486721379

Zu jeder affinen Inzidenzebene, in welcher der große Satz von Desargues gilt (kurz: (D)-Ebene), wird mit Hilfe von Translationen und Streckungen ein zweidimensionaler Vektorraum über einem Schiefkörper hergeleitet. Anders als in der bisherigen Literatur werden diese Abbildungen nicht axiomatisch, sondern konstruktiv eingeführt. Dieser Weg ist anschaulich und verdeutlicht den geometrischen Hintergrund der algebraischen Strukturen. Außerdem sichert er von Anfang an die Existenz hinreichend vieler solcher Abbildungen. Die Autoren weisen u.a. nach: • Die Isomorphieklassen von (D)-Ebenen und die Isomorphieklassen algebraisch affiner Ebenen entsprechen sich bijektiv. • Bei der Hilbertschen Streckenrechnung führen unterschiedliche Konstruktionsdaten zu isomorphen Schiefkörpern. • Translationen, Streckungen und axiale Kollineationen sind drei affine Spezialfälle derselben projektiven state of affairs. Inhalt und gewählte Vorgehensweise machen die mathematischen Grundlagen der analytischen Geometrie, wie sie bereits in der Oberstufe des Gymnasiums unterrichtet wird, klar. Aufgrund der ausführlichen und durch viele Abbildungen veranschaulichten Beweise ist dieses Buch auch bestens zum Selbststudium geeignet.

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Nach (2) sind somit τAB = τCD = τBA = τDC . Allgemein liefern jeweils vier Punktepaare dieselbe Parallelverschiebung. Also gibt es in der Minimalebene insgesamt vier Parallelverschiebungen. Die zugeh¨ origen Punktabbildungen sind : τAA = τBB = τCC = τDD = idP : A → A, B → B, C → C, D → D; τAB = τBA = τCD = τDC : A → B, B → A, C → D, D → C; τAC = τBD = τCA = τDB : A → C, B → D, C → A, D → B; τAD = τBC = τCB = τDA : A → D, B → C, C → B, D → A. 6 Die abelsche Gruppe der Parallelverschiebungen Wie angek¨ undigt sollen die Parallelverschiebungen die Vektoren unseres Vektorraums werden.

1a) Zun¨ achst sei g(P, Q) = g(T, U ) . Sind P, R, T und damit Q, S, U kollinear, so gilt die Behauptung offensichtlich. Andernfalls liegt eine (d)-Konfiguration vor (vgl. Figur 13 a). Daher ist g(P, T ) g(Q, U ) und somit ist (P, Q, T, U ) ein eigentliches Parallelogramm. 1b) Jetzt sei g(P, Q) = g(T, U ) . Dann ist (P, Q, T, U ) ein uneigentliches Parallelogramm mit den Hilfspunkten (R, S) (vgl. Figur 13 b). 3 Eigenschaften von Parallelogrammen 35 2. Fall: Jetzt sei (P, Q, R, S) ein eigentliches und (R, S, T, U ) ein uneigentliches Parallelogramm (Figur 13 c).

Tg , ◦) ist eine Untergruppe von (T, ◦), die genauso viele Elemente enth¨alt wie es Punkte auf der Geraden g gibt. Wir wollen nun zeigen, dass die Gruppe (T, ◦) auch die Dimension 2 der Ausgangsebene widerspiegelt. Satz : Sind g und h nicht-parallele Geraden einer (d)-Ebene, so ist die abelsche Gruppe (T, ◦) die innere direkte Summe11 der Untergruppen (Tg , ◦) und (Th , ◦) : T = Tg ◦ Th und Tg ∩ Th = {idP }. Beweis : Es sei S der Schnittpunkt von g und h. 5 (5) kann jede Parallelverschiebung τ mit S als erstem Punkt dargestellt werden, also als τ = τSX mit X = τ (S).

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